Aproximación para el caso de órbitas poco excéntricas
La ecuación relativista para la órbita de un planeta indicada en la sección anterior se puede integrar con la ayuda de las llamadas funciones elípticas, pero la solución obtenida por ese camino no conduce por sí misma a una comparación conveniente con los resultados de la teoría newtoniana.
La magnitud del término 3Gmu2/c2 que aparece en el desarrollo relativista es pequeño, ello justifica que intentemos buscar una aproximación por el método de las perturbaciones. De acuerdo con esto, despreciamos el término 3Gmu2/c2 y obtenemos en primera aproximación u1 la ecuación de Newton:
Cuya solución es:
donde e es la excentricidad de la órbita y w el ángulo que el eje mayor de la órbita forma con la horizontal.
Si sustituimos esta primera solución en el segundo miembro de la ecuación relativista, obtenemos:
Si las órbitas tienen poca excentricidad (caso de Mercurio, e = 0.2), la contribución del término que contiene e2 es despreciable. Tampoco el término 3G3m3/c2h4 tiene un efecto significativo en la forma de la órbita, pero el término que contiene cos(j - w), puede tener un efecto acumulativo en el desplazamiento del perihelio.
Cuando realizamos las correspondientes aproximaciones, después de algunos cálculos fáciles, obtenemos:
Podemos considerar que ya tenemos suficiente aproximación, si ponemos
La ecuación nos queda:
Donde a es el arcotangente de dw (aproximadamente dw), por tanto la ecuación anterior puede quedar, despreciando loel término dw2:
Por tando el término dw que aparece dentro de la función coseno correspondería al avance del eje mayor de la "elipse" cuyo valor aproximado podemos calcular en radianes por vuelta:
Cabe recordar aquí que para llegar a esta conclusión, hemos tenido que suponer que el planeta tiene poca excentricidad. En el caso de órbitas cuya excentricidad sea considerable, tendremos que olvidar las aproximaciones hechas anteriormente y, o bien intentar integrar la ecuación diferencial o bien realizar una integración numérica.
Tanto esta aproximación como la integración numérica aparecen en la simulación.